Geometría Analítica (personajes)

René Descartes: En 1635 el matemático y filósofo francés René Descartes publicó un libro sobre la teoría de ecuaciones, incluyendo su regla de los signos para saber el número de raíces positivas y negativas de una ecuación. Unas cuantas décadas más tarde, el físico y matemático inglés Isaac Newton descubrió un método iterativo para encontrar las raíces de ecuaciones. Hoy se denomina método Newton-Raphson, y el método iterativo de Herón mencionado más arriba es un caso particular de éste. Tuvo la inspiración para sus estudios de Matemáticas en tres sueños en la noche del 10 de Noviembre de 1619. Creó una nueva rama de las Matemáticas, la geometría analítica. Introdujo el sistema de referencia que actualmente conocemos como coordenadas cartesianas. Este nombre deriva de la forma latina de su apellido: Cartesius. Fue el pensador más capaz de su época, pero en el fondo no era realmente un matemático.
Pitagoras: Pitágoras (c. 582-c. 500 a.C.), Vivió inmediatamente después de Tales. Fundó la escuela pitagórica (Sur de Italia), organización que se guiaba por el amor a la sabiduría y en especial a las Matemáticas y a la Música.
Después el pueblo se rebeló contra ellos y quemó su sede. Algunos dicen que el propio Pitágoras murió en el incendio. Otros, que huyó y, desencantado, se dejó morir de hambre.
Además de formular el teorema que lleva su nombre, inventó una tabla de multiplicar y estudió la relación entre la música y las matemáticas.
A partir de la Edad Media, el teorema de Pitágoras fue considerado como el "pons asinorum", el puente de los asnos, es decir, el conocimiento que separaba a las personas cultas de las incultas.
Galileo Galilei: Galileo nació Pisa en 1564, hijo de un músico. Aunque había ido a la universidad para estudiar medicina, decidió inclinarse hacia las matemáticas. A sus veinticinco años fue nombrado profesor de matemáticas en la universidad de Pisa, donde comenzó a investigar sobre mecánica y sobre el movimiento de los cuerpos.
Sus descubrimientos astronómicos fueron importantes, siendo él el primero en hacer del telescopio, recién inventado, un instrumento útil para la observación astronómica.
Pero su contribución más interesante fue la de establecer el lazo a partir de entonces, nunca roto, entre física, en particular la mecánica, y las matemáticas, que hasta entonces se habían considerado como ciencias separadas.
Galileo murió en 1642, el mismo año del nacimiento de Newton, a quien dejó el camino abierto para la consolidación de la mecánica.

Linea del tiempo de las matemáticas

Nota: Los textos de matemáticas mas antiguos que se poseen proceden de Mesopotania, algunos textos cuneiformes tienen mas de 5000 años de edad.

• 3000 A.C-2500A.C:Se inventa en China el Ábaco, primer instrumento menciono para calcular. Se inventan las tablas de multiplicar y desarrolla el calculo de Arias.
• 1600 A.C. aproximadamente: El papiro Rhind,es el principal texto matemático egipcio, fue escrito en un escriba bajo el reinado del Rey Hisco Ekenenve Apopi, y contiene lo esencial del poder matemático egipcio. Entre estos proporciona una regla de calculo de adiciones y sustracción de fracciones, ecuaciones simples de primer grado, diversos problemas de aritmética, medicaciones de superficie y volúmenes. 
• Entre 600 y 300 A.C.: La matemática griega es conocida gracias al prologo histórico escrito en el siglo V A.C. por el filosofo Proclo. Este texto nombra a los geométricos griegos aquel periodo pero sin precisar la naturaleza exacta de sus descubrimientos.
• Del 500-450 A.C.: Se establece la era Pitagora. Pitagoras de Samos, personaje semilgenedario creador de una gran movimiento moral, metafísico. El saber geométrico de los Pitagóricos, en la cual fue establecido por su escuela y donde la tradición de los Pitagóricos.
• Hacia 460 A.C.: El mercader Hipocrátes de Quios. Se convirtió en el primero en redactar unos elementos, es decir un tratado sistemático de matemáticas.
• Alrededor de 406-315 A.C.: El astrónomo Eudoxo establece una teoría de la semejanza.
• 276-194 A.C.:El matemático griego. Eraltoslentes ideo un método con el cual pudo medir la longitud de la circunferencia de la tierra. 
• 300-600 A.C.: Los indues conocen el sistema de numeración babilónica por posición y la adaptan a la numeración decimal creado así el sistema decimal de posición que es nuestro sistema actual.
• 1100:Omar Khayyman desarrolla un método para dibujar un segmento cuya longitud fuera raíz real positiva de un polinomio aboco dado.
• 1525:El matemático alemán Chnistoff Rudolff emplea el símbolo actual de la raíz cuadrada.
• 1545: Gecolamo Cardano, publica el método general para resolver ecuaciones de 3° grado.      
• 1550: Ferrari da a conocer el método general de disolucion de 4° grado. 
• 1591: Francois Véte escribio "In arten anal y icen isagage" en el cual se aplicaba por primera vez el álgebra a la geometría. 
• 1614: Napier inventa los logaritmos.
• 1617: John Napier, un juego de tablas de multiplicación llamada "Los huesos de Naper". Posteriormente publico la primera tabla de logaritmos.
• 1619: Descartes crea la geometría analítica.
• 1642: El matemático Blaise Pascal construye la primera maquina de calcular conocida como la "Pascalina" la cual podia efectuar sumas y restas hasta 6 cifras.
• 1684: Se crea casi simultáneamente el calculo intencimental por Neulon y le banz.
• 1743: Longlos inventa el parto grafo.
• 1746:Enuncia y demuestra parcialmente que cualquier polinomio de grado N tiene N moles o completos.
• 1761: Johan Lombart prueba el numero P es irracional.

Lugar Geométrico

Los dos problemas fundamentales de la geometría analítica son:

• Dar una figura geométrica o la condición común que debe cumplir los puntos de esto, hallar la educación.
• Dado una ecuación, construir su gráfica o lugar geométrico.

Se establece con un conjunto de puntos que tienen una propiedad o regularidad común dicho con otras palabras, una gráfica o lugar geométrico esta definido por medio de la condición geométrica que cumplen todos los vectores.
Ejemplos notables de lugares geométricos: 

• La mediatriz de un segmento de una recta.
• La circunferencia.
• La elipse.
• Lo paralelos.

• La mediatriz de un segmento de una recta    

Es el conjunto de todos los puntos en el plano que pasan de sus puntos extremos.
La recta N por U por los puntos en la mediatriz del segmento de recta AB y tiene las siguientes características:

• Paso por el punto medio AB.
• Un segmento de recta y su mediatriz son perpendiculares entre si.

 

Producto de un nuevo vector

El producto de un numero (K) por un vector U es otro vector.

• Da igual dirección que el vector U.
• El mismo sentido el vector U si K es positivo.
• El sentido contrario del vector U si K es negativo.
• El modulo K absoluto por vector U absoluto.

Los componentes del vector resultante. Se obtiene multiplicando por K por los componentes del vector.
U=(U1,U2).

K=(U1,U2)=(K=U2,K-U1).

Suma de todos los vectores

Para sumar dos vectores libres, U y V se escoge como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno es conocida con el extremo origen del otro vector.

• Regla paralelogramo:  Se toman como representante dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.

Para sumar dos vectores se suman sur respectivos componentes:

• U=(U1,U1).
• U+V=(U1+V2 y U2+V2).
• V= (V1,V2).

• Regla de vectores: Para restar dos vectores libres se suma U con el opuesto V.

Los componentes del vector resta, se obtiene restando los componentes de los vectores.

• V=(V1,V2)  
• U=(U1,U2).
• U-V=(V1-V2, U1-U2).

Lugares Geometrictos

Comentarios: Plano cartesiano, dimension, caracteristicas, ubicacion, posicion, snetido

Clase de vectores

1. Vectores equipolentes: Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual modulo, direccion y sentido.
2. Vectores libres:  Es el conjunto de todos los vectores equipolentes entre si. Se llama vector libre. Es decir los vectores libres tienen el mismo modulo, direccion y sentido.
3. Vectores fijos: Es un representante del vector libre. Es decir los vectores fijos tienen el mismo modulo de direccion, sentido y origen.
4. Vectores ligados: Los vectores ligados son vectores equipolentes que actuan en la misma recta, es decir, los vectores ligados, tienen el mismo sentido y se encuentran en la misma recta.
5. Vectores opuestos: Estos tienen el mismo modulo, sentido distinto.
6. Vectores unitarios: Tienen el modulo la unidad para obtener un vector unitario, de la misma direccion y sentido que el vector dado. Se divide en este por su modulo.
7. Vectores concurrentes: Tienen el mismo origen.
8. Vectores de posicion:  Es un vector de posicion OP que unen el origen de coordenadas o con un punto P, se llama vector de posicion del punto P.
9. Vectores linealmente dependientes: Varios vectores, libres del plano son linealmente dependientes si existe una combinacion lineal de ellos, que sea igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinacion lineal.
10. Vectores linealmente independientes: Varios vectores libres son linealmente independientes, sin ninguno se puede de expresar como combinacion lineal de los otros.
11. Vectores ortogonales:  Dos vectores son ortogonales o pendediculares, si el producto es escalar a cero.
12. Vectores ortogonales: Dos vectores son ortogonales:

• Su producto a escalar es cero.
• Los dos vectores son unitarios.

Vectores

Un vector fijo a lo es un segmento oriental que va del punto A al punto B (origen).

• Elementos de un vector
• Direccion: La dirreccion de un vector es la dirreccion de una recta que contiene el vector o de cualquier recta paralela a ella.
• Sentido: El sentido de un vector AB, es el que va desde el origen A al extemo B.
• Modulo de un vector

El modulo de un vector AB, es la longitud del segmento AB, se representa por el valor absoluto.
El modulo de un vector o siempre positivo o cero.

 

Dibujos y Trazos Geometricos

• Trazo de lineas paralelas.
• Trazo de lineas perpendiculares.
• Trazo de pendediculares con regla y compas.

Movimiento en el plano

• Simetria axial.

¿Que es el trazo de lineas paralelas?
Las lineas paralelas son aquellas que se encuentra siempre se encuentran a la misma distancia por mas que protegen no se tocaran. Se representan con el simbolo // entre las letras que simbolizan a alas rectas o segmentos.

• Se coloca uno de los lados de cualquiera de las escuadras sobre la linea original.
• La segunda escuadra se apoya en cualquiera de los lados sabientes de la primera escuadra y se deja fija.
• La primera escuadra se desliza sobre el borde de la segunda hacia arriba o hacia abajo segun sea necesario hasta el lugar donde se debera trazar la paralela.

Trazo de lineas perpendiculares L
Se llaman lineas perpendicuales a las rectas o secmentos que cruzan a un angulo perfecto de 90º y, se intersectan forman un triangulo recto.
El procedimiento para el trazo se puede realizar de dos formas: la primera es con las escuadras y se realiza de la siguiente manera:

• Se coloca al borde e la primera escuadra sobre la linea a la que se la trazara la pendedicular.
• Se coloca la escuadra 2, apoyando sobre el mismo borde de la escuadra 1, en el cual se traza la linea original, buscando que la segunda ecuadra tome como base el angulo de 90º.
• Se desliza la segunda escuadra hasta el punto donde se ha de trazar la pendedicular y se marea la linea, que se puede prolongar tanto como se desee.
• Para especificar que dos rectas son perpendiculares se coloca entre las letras, que representan a las lineas del simbolo.

Lugares Geometricos

Comentarios: Plano cartesiano, dimension, caracteristicas, ubicacion, posicion, senttido y dirreccion.

Parejas Ordenada

¿Que son?
En el plano cartesiano se divide en dos partes ordenadas y coordenadas. Las ordenadas pertenecen a los puntos del eje X y las coordenadas a los puntos del eje Y.

Ejercicios:
Ubica los siguientes puntos de coordenadas, traza la linea recta y encuentra su valor.